#19 科學計算與數學公式
在編輯器裡輸入數學公式——從基礎算式到 AI 矩陣運算，全部即時渲染成清晰的數學排版。
兩種插入方式
方式一：π 按鈕
點工具列的 π 按鈕，插入一個範例公式 $E=mc^2$，直接改成你要的內容。
方式二：直接輸入
用 $...$ 包住公式：打 $ 開頭，輸入公式，再打 $ 結尾——自動轉換成渲染圖。
| 你輸入 | 效果 |
|---|---|
$x + y = z$ |
$x + y = z$ |
$E=mc^2$ |
$E=mc^2$ |
$\pi \approx 3.14159$ |
$\pi \approx 3.14159$ |
編輯公式
點一下已渲染的公式 → 切換回編輯模式 → 改完後點其他地方確認。
基礎範例
分數與根號
| 語法 | 結果 |
|---|---|
$\frac{a}{b}$ |
$\frac{a}{b}$ |
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ |
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ |
$\sqrt{x}$ |
$\sqrt{x}$ |
$\sqrt{a^2 + b^2}$ |
$\sqrt{a^2 + b^2}$ |
$\sqrt[3]{x}$ |
$\sqrt[3]{x}$ |
指數與對數
| 語法 | 結果 |
|---|---|
$e^{x}$ |
$e^{x}$ |
$2^{10} = 1024$ |
$2^{10} = 1024$ |
$\log_2 x$ |
$\log_2 x$ |
$\ln e = 1$ |
$\ln e = 1$ |
希臘字母
| 語法 | 結果 | 常見用途 |
|---|---|---|
$\alpha, \beta, \gamma$ |
$\alpha, \beta, \gamma$ | 角度、係數 |
$\theta$ |
$\theta$ | 參數、角度 |
$\sigma$ |
$\sigma$ | 標準差、Sigmoid |
$\mu$ |
$\mu$ | 平均值 |
$\lambda$ |
$\lambda$ | 學習率、正則化 |
$\nabla$ |
$\nabla$ | 梯度算子 |
$\partial$ |
$\partial$ | 偏微分 |
中級範例
求和與連乘
$\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$
$\prod_{i=1}^{n} x_i = x_1 \cdot x_2 \cdots x_n$
極限與導數
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\frac{d}{dx} e^x = e^x$
$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$
積分
$\int_0^{\infty} e^{-x}\, dx = 1$
$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$
進階：AI / ML 矩陣運算
矩陣與向量
定義矩陣：
$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$
矩陣乘法：
$\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}, \quad c_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{kj}$
轉置：$(\mathbf{A}^T)_{ij} = a_{ji}$
線性層（Forward Pass）
$\mathbf{y} = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}$
其中 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{m \times n}$、$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$、$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}$。
損失函數
均方誤差 (MSE)：
$L_{MSE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - \hat{y}_i)^2$
交叉熵 (Cross-Entropy)：
$L_{CE} = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} y_i \log(\hat{y}_i)$
激活函數
Sigmoid：
$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$
Softmax：
$\text{softmax}(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^{K} e^{x_j}}$
ReLU：
$\text{ReLU}(x) = \max(0, x)$
梯度下降
基本更新規則：
$\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \nabla_\theta L(\theta_t)$
Adam 優化器更新：
$m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t$
$v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1 - \beta_2) g_t^2$
$\theta_{t+1} = \theta_t - \frac{\eta}{\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon} \hat{m}_t$
反向傳播
鏈式法則：
$\frac{\partial L}{\partial \mathbf{W}} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{y}} \cdot \mathbf{x}^T$
權重更新：
$\mathbf{W} \leftarrow \mathbf{W} - \alpha \frac{\partial L}{\partial \mathbf{W}}$
Attention（Transformer）
$\text{Attention}(\mathbf{Q}, \mathbf{K}, \mathbf{V}) = \text{softmax}\!\left(\frac{\mathbf{Q}\mathbf{K}^T}{\sqrt{d_k}}\right)\mathbf{V}$
常用 KaTeX 速查表
| 效果 | 語法 |
|---|---|
| 分數 | rac{分子}{分母} |
| 根號 | sqrt{x} |
| 上標 | x^{2} |
| 下標 | x_{i} |
| 求和 | sum_{i=1}^{n} |
| 積分 | int_a^b |
| 向量 | mathbf{v} |
| 矩陣 | egin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} |
| 偏微分 | rac{partial f}{partial x} |
| 趨近 | approx |
| 屬於 | in |
| 實數集 | mathbb{R} |
完整語法參考：KaTeX 支援函數列表